要点�N　『　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ―　関数・比例』

 

�T関数

▽とある集合ＡとＢがあり，Ａの各要素に，一定の規則によってＢの各１要素がそれぞれ対応づけられるとき，をＡからＢへの写像と呼び，これを“:Ａ→Ｂ”と書き表すが，数の集合Ａから数の集合Ｂへの写像のことを関数と定義される。

▽しかし，上のような説明を中学生が理解するのは非常に難しいし，その必要もない。次のように抑えておけばよいであろう。

▼変数，があって，のおのおのの値に対応しての値がただひとつ決まるとき，はの関数であるという。

▽上の説明でも理解できないものがいるだろうが，それはそれで構わない。早くとも高校２年までは理解の要求はされない。

▽関数の表し方は次の４通りある。

（１）式　（２）矢印と言葉　（３）表　（４）グラフ

・・・（１），（４）が一般的である。

 

�U変域・定義域・値域

▽関数において，とはともに変数であるが，変数のとりうる値の範囲をこの関数の定義域といい，これに対応して定まる変数の値の範囲をこの関数の値域という。関数の問題に関わらず，変数の取りうる範囲のことを変域という。

 

�V不等号などの記号について

ｅｇ；　５＞２　，７７　，ｃ０

▽　“＞”，“＜”・・・「より大きい」，「より小さい」状態を表す。その数自体は含まず，数直線上や座標上でその値の箇所を小さい“○”で表す。

▽　“”，“”・・・「以上」，「以下」の状態を表す。その数自体含み，すう直線状や座標上でその値の箇所を小さい“●”で表す。

▽　“”・・・その値でない状態。等しくない状態。

▽これらは，変域・定義域・値域を表す際に用いる。　ｅｇ；　（-５＜４）

▽　“（　　，　　）”・・・値を表すときに用いる。

　　　ｅｇ；　＝１，＝-4　　⇔　　（，）＝（１，-４）

　　　ｃｆ；　と書いてもよい。但し，中学範囲では何処も見かけない。

 

�W比例

▽    関数がのような式であるとき，はに比例するといい，□の値を比例定数（＝傾き）という。比例定数はとおくのが一般的であるようだ。また比例定数は０でない。

▽    このとき比例定数は，＝１のときのの値に等しい。

▽    必ず（，）＝（０，０）をみたす。

▽    はに比例するとき，の値が２倍，３倍，・・・・・になればなるほど，それに対応するの値も２倍，３倍，・・・・・となる。

▽    において，（，）＝（，），（，）を満たすとすると，＝で求めることが出来る。

 

要点�O�P　『座標・比例のグラフ』

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

�T座標

（１）座標平面・・・・右図のような，２本の数直線が両方

の原点で交わっている図。一般に，垂直に交わる。

▽の値を表す数直線のことを「軸」と呼び，一般に

横軸で表す。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｏ　　　　　　　　　

▽の値を表す数直線のことを「軸」と呼び，一般に

縦軸で表す。

▽軸，軸あわせて座標軸，その交点を原点Ｏ（オー）と呼ぶ。

▽以上３つは座標平面を書く上で必ず書かなくてはならない。

（２）座標

▽　ｅｇ；　＝４，＝３を意味する点Ｐを，Ｐ（４，３）のように書く。このとき，の値を座標，の値を座標と呼ぶ。

▽座標平面にて，

　　１．　＞０かつ＞０の部分・・・第１象限

　　２．　＜０かつ＞０の部分・・・第２象限

　　３．　＜０かつ＜０の部分・・・第３象限

　　４．　＞０かつ＜０の部分・・・第４象限

　　　←反時計回り順。座標軸上は含まない。

☆軸，軸により描かれた座標平面を「座標平面」または「平面」と呼ぶ。

 

�U対称な点の座標

　ｅｇ；　（，）に対して

（１）　軸について対称（線対称）な点は（，-）・・・座標の符号が変わる。

（２）　軸について対称（線対称）な点は（-，）・・・座標の符号が変わる。

（３）　原点について対称（点対称）な点は（-，-）・・・両座標の符号が変わる。

 

�V点の移動

　点Ａ（，）を軸方向に，軸方向に移動させた点Ｂは，Ｂ（+，+）と表れられる。

 

�W幾何

（１）中点の座標

２点Ａ（，），Ｂ（，）のちょうど中間点の座標は，で求まる。値が負でも気にしなくてよい。

（２）座標平面上の面積の求め方

☆単位は要らない。考えない。

�@図形の内部を分割し，分割された部分の面積を求める。

�A求める図形を取り囲む部分の面積を求め，余分な部分の面積を取り除く。

�Bその他

三角形において

イ）△ＯＡＢにおいて，Ｏ（０，０），Ａ（），Ｂ（）とすると，

　　　　　△ＯＡＢ＝　で求めることが出来る。　（“”は絶対値記号。）

ロ）△ＡＢＣにおいて，Ａ（），Ｂ（），Ｃ（）とすると，

　　　　　△ＡＢＣ＝　で求めることが出来る。

 

�X比例のグラフ

（１）比例のグラフ：　（）のグラフは，原点を通る直線となる。

（２）比例のグラフの特徴

１．傾き：＞０のとき・・・右上がりの直線となり，

が増加するとも増加する。

２．傾き：＜０のとき・・・右下がりの直線となり，　　　　　　　　　　　　　　

が増加するとは減少する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（>０）

（３）比例のグラフの書き方

・・・直線は２点によって決定するから，座標平面状の２点

を書き，それを通る直線を引く。

一般に原点ともう一点が分ればよい。　　　　　　　　　　　　　　　　　ｏ　　　　　　　　　　　

（４）補足

・直角に交わる２つの関数の傾きの積は-１のなる。

・変域が設定されていたら実線でその部分を表し，破線で延長する。　　　（<０）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（境界の点を明確にする。）

 

 

要点�Q　『反比例』

 

�T反比例

（１）反比例

・・・２つの変数，の間に，定数（）を用いて，やといった関係があるとき，はに反比例するという。を比例定数といい，これはとの積であり一定である。

（２）反比例の性質

・・・がに反比例するとき，の値が２倍，３倍，・・・・・となれば，それに対応するのあたいは倍，倍，・・・・・となる。

 

�U反比例のグラフ

（１）反比例のグラフ

　　　（）のグラフは，原点に点対称な一組の滑らかな曲線となる。

　　これを双曲線という。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（２）特徴

１．傾き：＞０のとき・・・グラフは第１象限と第３象限にあり，

が増加するとは減少する。

２．傾き：＜０のとき・・・グラフは第２象限と第４象限にあり，　　　　　　ｏ　　　　　　　　　

が増加するとも増加する。

３．のグラフでは，軸，軸と交わることはない。

　グラフは軸，軸に限りなく近づいていく。

（３）反比例のグラフの書き方

・関数を満たす，任意に数を代入することで座標をいくつか求め，滑らかな曲線で結ぶ。

・変域が設定されていたら実線でその部分を表し，破線で延長する。

（境界の点を明確にする。）

 

 

要点�R　『比例・反比例の利用』

 

�Tその他のグラフ

（１）のグラフ

・・・（）を通り，軸に平行な直線となる。

☆グラフの線と軸の交点を切片という。

（２）のグラフ

・・・を通り，軸に平行な直線となる。

 

�U変数の関係

変数，，（）と定数によって表された式＝について。

（１）移項によりと表すことができる。

（２）定数（）によりならば，

より，が定数から，とは比例関係にある。

（３）定数（）により＝ならば，

より，が定数から，とは比例関係にある。

（４）定数により＝ならば，より，が定数から，とは反比例関係にある。

 

�Vグラフの利用

比例についての問題を，グラフに表すと分りやすいことがある。