数学コンテスト@<中高全学年対象>

(by Aiichiro Kohno)

 

氏名______________  日時_________

生徒番号__________  クラス_______ 校舎______

 

設問

 

任意に取り出した5つの正の整数から,和が3の倍数となる3つの整数の組を必ず取り出せることを証明しなさい。

 

テキスト ボックス: <解答欄>
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


解答

 

まず,“3の倍数”に関して,3で割った時の余りに注目し分類すると,

全ての自然数は,

(ア)         3で割ると余りが0 (∴3の倍数)

(イ)          3で割ると余りが1

(ウ)          3で割ると余りが2      の3種類に分類でき, ・・・@

それぞれ, (ア) 3n  (イ) 3n+1  (ウ)3n+2  

と表すことができる。( n は自然数)

この3種類から3つの数を組み合わせて3の倍数を作るには,

 

自然数n,n,nを用いて,

        3n+3n+3n=3(n+n+n

        (3n+1)+(3n+1)+(3n+1)=3(n+n+n)+3=3(n+n+n+1)

        (3n+2)+(3n+2)+(3n+2)=3(n+n+n)+6=3(n+n+n+2)

のように同種類の3つの数より組を作るか, ・・・A

 

        3n+(3n+1)+(3n+2)=3(n+n+n)+3=3(n+n+n+1)

のように3種類からそれぞれ1つ用いて組を作る場合がある ・・・B

 

そこで,5つの自然数を取り出す際,

右図を見てみると,

@の分類での(ア),(イ),(ウ)の同種類の数が3つそろうことを回避しても,数が3種類ともそろうことを回避できない。

よって,A,Bは,任意の5つの自然数を取り出した時,

どちらか一方,必ず満たされるので,常に和が3の倍数となる3つの整数の組を必ず取りだせると言える。

(証明終)

 

 

 

 

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