数学コンテスト@<中高全学年対象>
(by Aiichiro Kohno)
氏名______________ 日時_________
生徒番号__________ クラス_______ 校舎______
設問
任意に取り出した5つの正の整数から,和が3の倍数となる3つの整数の組を必ず取り出せることを証明しなさい。
解答
まず,“3の倍数”に関して,3で割った時の余りに注目し分類すると,
全ての自然数は,
(ア) 3で割ると余りが0 (∴3の倍数)
(イ) 3で割ると余りが1
(ウ) 3で割ると余りが2 の3種類に分類でき, ・・・@
それぞれ, (ア) 3n (イ) 3n+1 (ウ)3n+2
と表すことができる。( n は自然数)
この3種類から3つの数を組み合わせて3の倍数を作るには,
自然数n1,n2,n3を用いて,
・ 3n1+3n2+3n3=3(n1+n2+n3)
・ (3n1+1)+(3n2+1)+(3n3+1)=3(n1+n2+n3)+3=3(n1+n2+n3+1)
・ (3n1+2)+(3n2+2)+(3n3+2)=3(n1+n2+n3)+6=3(n1+n2+n3+2)
のように同種類の3つの数より組を作るか, ・・・A
・ 3n1+(3n2+1)+(3n3+2)=3(n1+n2+n3)+3=3(n1+n2+n3+1)
のように3種類からそれぞれ1つ用いて組を作る場合がある ・・・B
そこで,5つの自然数を取り出す際,
右図を見てみると,
@の分類での(ア),(イ),(ウ)の同種類の数が3つそろうことを回避しても,数が3種類ともそろうことを回避できない。
よって,A,Bは,任意の5つの自然数を取り出した時,
どちらか一方,必ず満たされるので,常に和が3の倍数となる3つの整数の組を必ず取りだせると言える。
(証明終)